Resumo do Livro: A Criança e o Número de Constance Kamii

• 1. A Natureza do Número
• 2. Objetivos para “ensinar” número
• 3. Princípios de ensino
• 4. Situações escolares que o professor pode “utilizar” para ensinar número
• A autonomia como finalidade da Educação: implicações da Teoria de Piaget
• A Criança e o Número – Resenha

As pesquisas de Piaget alteraram significativamente a prática de boa parte dos professores das séries iniciais; entretanto, uma compreensão equivocada desse teórico levou a um grande número de aplicações práticas inadequadas. Em seu livro – A criança e o número: Implicações Educacionais da Teoria de Piaget para a Atuação Junto a Escolares de 4 a 6 anos – Constance Kamii propõe-se a responder dúvidas referentes à aplicação da pesquisa e da teoria de Piaget no ensino do número.

Quatro tópicos organizam o enfoque proposto pela autora:

1. A natureza do número.
2. Objetivos para ‘ensinar’ número.
3. Princípios de ensino.
4. Situações escolares que o professor pode usar para ‘ensinar’ número.

Numa breve revisão sobre a prova da conservação, a autora esclarece que as crianças de quatro anos tendem a acreditar que uma determinada quantidade de objetos se altera em função da disposição destes numa superfície. Por exemplo, se uma professora coloca oito pedaços de isopor enfileirados e entrega outros oito pedaços para a criança enfileirar, a tendência é que a criança os disponha de forma mais espaçada e que, por causa desse espaçamento, acredite ter enfileirado mais pedaços de isopor que a professora. Isso significa que a criança ainda não conserva quantidades; entretanto, não significa que a professora deve “ensiná-la” a conservar fazendo, por exemplo, a correspondência um a um.

1. A Natureza do Número

Para Piaget, os conhecimentos diferenciam-se, considerando suas fontes básicas e o modo de estruturação, em três tipos: conhecimento físico, lógico-matemático e social (convencional). O conhecimento físico e o social são parcialmente externos ao indivíduo, enquanto que a fonte do conhecimento lógico-matemático é interna.

O conhecimento físico é o conhecimento dos objetos da realidade externa: são as propriedades físicas que podem ser conhecidas pela observação. Entretanto, a relação entre as propriedades físicas de dois objetos é construída a partir do conhecimento lógico-matemático. É também o pensamento lógico-matemático que atua quando analisamos numericamente os objetos, estabelecendo relações de igual, diferente, mais etc. Assim, “número é uma relação criada mentalmente por cada indivíduo.”

Segundo Piaget, existem dois tipos de abstração: a empírica (ou simples), que consiste em focalizar uma certa propriedade do objeto e ignorar as outras; e a abstração reflexiva, que envolve a construção de relações entre os objetos. Por não ter existência na realidade externa, a abstração reflexiva é uma construção realizada pela mente. A abstração reflexiva é usada para construir o conceito de número. Entretanto, esses dois tipos de abstração são interdependentes: “a criança não poderia construir a relação ‘diferente’ se não pudesse observar propriedades de diferença entre os objetos” (p.17); por outro lado, para perceber que um certo peixe é vermelho (abstração empírica), ela necessita possuir um esquema classificatório para distinguir o vermelho de todas as outras cores.

Assim, número é, de acordo com Piaget, “uma síntese de dois tipos de relações que a criança elabora entre os objetos (por abstração reflexiva). Uma é a ordem e a outra é a inclusão hierárquica.” (p.19) A ordem é importante para assegurar que não deixamos nenhum objeto sem contar ou que não contamos um mesmo objeto duas vezes. A inclusão hierárquica diz respeito à capacidade de compreender que um está contido em dois, dois estão contidos em três, e assim sucessivamente.

Se perguntarmos, por exemplo, a uma criança de quatro anos se existem mais animais ou vacas no mundo, ela terá dificuldades em responder porque o seu pensamento ainda não é flexível o suficiente para ser reversível. A reversibilidade diz respeito à habilidade de realizar mentalmente operações opostas. No exemplo acima, a criança não consegue cortar o todo ‘animais’ em partes e as reunir mentalmente.

Assim sendo, a teoria de Piaget contradiz o pressuposto comum de que os conceitos numéricos podem ser ensinados pela transmissão social. As palavras um, dois, três… são exemplos de conhecimento social; contudo, os conceitos numéricos não são adquiridos através da linguagem. Por outro lado, número também não é alguma coisa conhecida inatamente, por intuição. Assim, a estrutura lógico-matemática do número é construída através da criação e coordenação de relações e não pode ser ensinada diretamente porque a criança tem que construí-la por si mesma.

2. Objetivos para “ensinar” número

Para que se possa extrair implicações pedagógicas dos temas tratados no 1º capítulo, é preciso compreender o contexto global da obra de Piaget. Sendo o conceito de número uma construção interna de relações, é preciso estimular, nas crianças, a autonomia para estabelecer entre os objetos, fatos e situações todos os tipos possíveis de relação.

Aliás, para Piaget, o desenvolvimento da autonomia deve estar no centro de qualquer proposta educativa. Autonomia é o ato de ser governado por si próprio, o oposto de heteronomia, que significa ser governado por outra pessoa. É muito importante destacar que a autonomia é indissociavelmente social, moral e intelectual.

Assim, o conceito de número não pode ser “ensinado” às crianças pela via da apresentação e repetição desse conceito pelo professor. É preciso que as crianças construam estruturas mentais para abarcar esse conceito e a melhor forma de fazer isso é estimulando-as a colocar todas as coisas em todos os tipos de relações. Para mais atividades sobre números, você pode conferir 5 atividades com números para aplicar na escola para crianças.

3. Princípios de ensino

• a) A criação de todos os tipos de relações.
  • O educador deve encorajar a criança a estar alerta e colocar todos os tipos de objetos, eventos e ações em todas as espécies de relações possíveis.
• b) A quantificação de objetos.                                
  • I. O educador deve encorajar as crianças a pensarem sobre número e quantidades de objetos em situações que sejam significativas para elas, ou seja, as crianças devem pensar sobre quantidade sempre que sentirem necessidade e interesse.                              
  • II. O educador deve encorajar a criança a quantificar objetos logicamente e a comparar conjuntos (em vez de encorajá-las a contar). O educador pode, por exemplo, pedir a uma criança que apanhe guardanapos ou copos suficientes para todas as crianças de uma mesa, em vez de dizer-lhe para apanhar uma quantidade definida de objetos.                            
  • III. O educador deve encorajar a criança a fazer conjuntos com objetos móveis. Folhas de exercícios com desenhos não são apropriadas para ensinar o número elementar, pois podem conduzir à resposta certa pela maneira errada. O ideal é que a criança trabalhe com objetos móveis.
• c) Interação social com os colegas e os professores.                                
  • I. O educador deve encorajar a criança a trocar ideias com seus colegas. Através da troca de ideias e do questionamento entre colegas, as crianças podem chegar à resposta certa sem a correção feita pelo professor.                              
  • II. O educador deve imaginar como é que a criança está pensando e intervir de acordo com o que parece estar sucedendo em sua cabeça. Mais do que corrigir a resposta dada pela criança, o professor deve tentar reconstituir o seu raciocínio para entender a base do “erro”.  Por exemplo, se uma criança está distribuindo xícaras e falta uma, pode ser que ela tenha esquecido de contar a si própria. Nesse caso, o professor pode perguntar casualmente: “você contou a si mesmo?”

4. Situações escolares que o professor pode “utilizar” para ensinar número

A autora apresenta, neste capítulo, exemplos de atividades que focalizam a quantificação.

a) VIDA DIÁRIA

Durante a sua rotina cotidiana, a professora pode transferir algumas responsabilidades para as crianças, por exemplo:                                

• I. A distribuição de materiais: Pedir às crianças que tragam o número suficiente de xícaras para todos à mesa.                                
• II. A divisão de objetos: Na hora do lanche, a professora pode dar uma certa quantidade de bolachinhas a uma criança e pedir que ela as distribua entre os colegas, encorajando o grupo a trocar ideias sobre a execução da tarefa.                            
• III. A coleta de coisas: A coleta de bilhetes de permissão assinados pelos pais é uma oportunidade natural de ensinar a composição aditiva do número. A professora poderá propor as seguintes questões: “quantas crianças trouxeram seus bilhetes hoje?” “quantas trouxeram ontem?” etc.                            
• IV.  Manutenção de quadros de registros: A professora pode providenciar um quadro para registrar o número de alunos presentes e ausentes.                                
• V. Arrumação da sala: A professora pode sugerir que cada criança guarde 3 coisas, se houver um momento para limpeza e arrumação da sala.                            
• VI. Votação: Essa prática é importante para ensinar a comparação de quantidades, além de favorecer a autonomia, uma vez que atribui poder de decisão às próprias crianças.

b) JOGOS EM GRUPO

• I. Jogos com alvos: Bolinhas de gude e boliche são bons para a contagem de objetos e a comparação de quantidades.                              
• II. Jogos de esconder: O jogo de esconder laranjas é excelente para trabalhar a divisão de conjunto, adição e subtração. Funciona da seguinte forma: A professora esconde cinco laranjas em lugares diferentes e as crianças vão procurá-las. Durante a brincadeira, quando as crianças já tiverem encontrado algumas laranjas, a professora pode perguntar quantas ainda faltam para serem encontradas.                            
• III. Corridas e brincadeiras de pegar: A dança das cadeiras é uma excelente oportunidade para as crianças compararem quantidade. A preparação do jogo é a parte mais importante. A professora deve deixar que as próprias crianças arrumem as cadeiras e decidam como querem jogar – com o mesmo número de cadeiras e de crianças, ou com uma cadeira a menos.                            
• IV. Jogo de adivinhação: Uma criança pega uma carta (entre 10 cartas numeradas) e as outras tentam adivinhar qual foi o número retirado. A criança que tem a carta nas mãos responde a cada tentativa dizendo: “não, é mais” “não, é menos” “sim”.                              
• V. Jogos de tabuleiros: Uma série de jogos de tabuleiros, daqueles em que se joga um dado e se avança o número de casas sorteados, como o “Lero-Lero! Cereja – 0” pode ser utilizado para construir o conceito de número.                              
• VI. Jogos de Baralho: Jogos de baralho como “Memória”, “Batalha” e “Cincos” são excelentes para o desenvolvimento do pensamento lógico e numérico.

A autonomia como finalidade da Educação: implicações da Teoria de Piaget

Neste apêndice, a autora faz uma revisão do livro: O julgamento Moral da Criança de Piaget, publicado em 1932. Começa estabelecendo a diferença entre autonomia, que significa ser governado por si mesmo, e heteronomia, que é ser governado por outra pessoa. Cita um exemplo extremo da moralidade da autonomia: Elliott Richardson, personagem de Watergate, que foi a única pessoa do gabinete do Presidente Nixon que se recusou a mentir, a pedido do seu superior, pedindo demissão.

A Autonomia Moral

Todos os seres humanos nascem heterônimos e vão se tornando, progressivamente, mais autônomos. Entretanto, boa parte das pessoas não desenvolve a autonomia de forma ideal. A questão é que grande parte dos adultos reforçam a heteronomia natural das crianças através de recompensas e castigos, quando deveriam estimular o desenvolvimento da autonomia trocando pontos de vista com os pequenos.

Segundo Kamii, a punição acarreta três tipos de consequências:

1. Cálculo de riscos → a criança repetirá o mesmo ato que ocasionou a punição, só que dessa vez tomará cuidado para não ser descoberta. Ou pode decidir que, mesmo sendo descoberta, o prazer de cometer o ato infracionário compensa a punição.
2. Conformidade cega → as crianças decidem que é melhor obedecer os adultos sempre para garantir a sua segurança e respeitabilidade.
3. Revolta → Algumas crianças, que antes se comportavam bem, decidem parar de obedecer e começar a viver por si próprias. Contudo, existe uma grande diferença entre autonomia e revolta. O não-conformismo ou a revolta não tornam, necessariamente, a pessoa mais autônoma.

As recompensas também reforçam a heteronomia.

Para que as crianças desenvolvam a autonomia moral, os adultos devem incentivá-las a construir por si próprias os seus valores morais. Entretanto, é preciso ser realista; não há como evitar totalmente as punições. É possível, porém, trocar as punições pelo que Piaget chamou de sanções por reciprocidade.

As sanções por reciprocidade são aquelas que estão diretamente relacionadas com o ato infracional. Kamii aborda quatro exemplos de sanção por reciprocidade:

1. Exclusão temporária ou permanente do grupo. → Quando uma criança perturba a leitura de uma história, por exemplo, a professora pode dizer: “Você pode ficar aqui sem nos aborrecer, ou terei que lhe pedir que vá para o canto dos livros ler sozinha.”
2. Apelar para a consequência direta e material do ato. → A criança que conta uma mentira pode ser confrontada com o fato de que as pessoas podem não acreditar mais nela.
3. Privar a criança de uma coisa que ela usou mal. → A criança que usa mal um brinquedo pode ser impedida de usá-lo até que aprenda a utilizá-lo corretamente.
4. Reparação → A criança que estraga um trabalho de um colega pode ser convidada a ajudar a consertá-lo. Contudo, para que essas sanções por reciprocidade não se transformem em punição, é preciso que haja uma relação de afeto e respeito mútuo entre a criança e o adulto.

Para finalizar, a autora destaca que os valores morais não são internalizados ou absorvidos de fora para dentro, mas construídos interiormente, através da interação da criança com o meio.

A Autonomia Intelectual

Uma pessoa intelectualmente autônoma necessita estar realmente convencida do seu erro para aceitar a correção de outras pessoas, enquanto as heterônomas acreditam em tudo o que lhe dizem, sem questionar.

A criança não adquire conhecimentos internalizando-os diretamente do seu meio ambiente. Em vez disso, as crianças constroem o conhecimento criando e coordenando relações entre objetos, fatos, etc.

Se o professor simplesmente marca como erro uma resposta do tipo “4 + 2 = 5”, sem tentar reconstituir o raciocínio da criança e convencê-la do seu erro, a tendência é que essa criança acredite que a verdade advém somente da cabeça do professor.

“Quando uma criança diz que 4 + 2 = 5, a melhor forma de reagir, ao invés de corrigi-la, é perguntar-lhe: ‘Como foi que você conseguiu 5?’ As crianças corrigem-se frequentemente de modo autônomo, à medida que tentam explicar seu raciocínio a uma outra pessoa. Pois a criança que tenta explicar seu raciocínio tem que descentrar para apresentar a seu interlocutor um argumento que tenha sentido. Assim, ao tentar coordenar seu ponto de vista com o do outro, frequentemente ela se dá conta do seu próprio erro.”

Assim, ao transferir o foco do pensamento pedagógico daquilo que os professores ensinam para como as crianças aprendem, Piaget sugere uma revolução Copernicana na educação. Assim, os docentes precisam rever os seus objetivos, colocando a construção da autonomia como finalidade maior da educação.

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A Criança e o Número – Resenha

Natural de Genebra (Suíça). Filha de pais japoneses, viveu no Japão até os 18 anos, transferindo-se depois para os Estados Unidos, onde, em 1955, bacharelou-se em Sociologia no Pomona College. Na Universidade de Michigan, terminou o mestrado de Educação em 1957 e doutorou-se em Educação e Psicologia na mesma universidade em 1965.

Aluna e colaboradora de Jean Piaget, fez diversos cursos de pós-doutoramento nas universidades de Genebra e de Michigan, ligados à Epistemologia Genética e a outras áreas educacionais relacionadas à teoria piagetiana e de outros pesquisadores. Autora de diversos trabalhos editados na Europa, Estados Unidos e Japão, a autora está atualmente desenvolvendo suas pesquisas na Escola de Educação do Alabama-USA.

O livro consta de quatro capítulos, onde descreve a relação da criança com o número, e um apêndice que trata sobre a autonomia da criança e como trabalhá-la de forma positiva na educação.

A introdução cita que, quando os professores ouvem falar sobre a não-conservação de números, refletem sobre o significado de se ensinar o número na sala de aula. Aplicando a teoria de Piaget, o professor pode utilizá-la discutindo sobre quatro aspectos:

• A natureza do número;
• Objetivos para o ensino do número;
• Princípios de ensino;
• Situações problemas que o educador pode usar para a aprendizagem do número.

Apresenta-se uma pequena revisão sobre a conservação de número, onde o material usado são 20 fichas vermelhas e 20 azuis.

1ª etapa – Igualdade – a pessoa que realiza a experiência pede para que a criança coloque fichas vermelhas na mesma quantidade de fichas azuis (já dispostas à frente da criança);

2ª – Conservação – a pessoa muda a colocação das fichas (separando ou juntando-as), diante da criança e pergunta se ainda há o mesmo número de fichas e como ela sabe;

3ª – Contra Argumentação – se a criança acerta a resposta, argumenta-se que uma outra disse que havia mais fichas na fileira mais comprida e pergunta quem está certa. Caso a criança dê uma resposta errada, deve lembrá-la que foram colocadas às mesmas quantidades de fichas e nenhuma foi retirada das fileiras;

4ª – Quotidade – o experimentador pede para que a criança conte as fichas azuis e esconda as vermelhas. Perguntam-se quantas vermelhas a criança acha que existem, se pode adivinhar sem contá-las e como sabe qual é o resultado. Crianças no nível I não conseguem fazer um conjunto com o mesmo número, vão colocando as fichas até que acabem ou colocam-nas sem contar, apenas respeitam os limites da outra fileira. Já no nível II, a criança já é capaz de fazer 2 conjuntos com o mesmo número de fichas, mas não consegue conservar a igualdade.

E as crianças do nível III respondem corretamente todas as questões e não se confundem com as contra-argumentações.

“O número é construído por cada criança a partir de todos os tipos de relações que ela cria entre os objetos” (p. 13).

No primeiro capítulo, fala-se que, para Piaget, há três tipos de conhecimentos: conhecimento físico: é o conhecimento exterior dos objetos, através da observação; as relações (diferenças, semelhanças) são criadas mentalmente pelas pessoas quando relacionam com dois objetos.

Conhecimento lógico-matemático: a origem deste conhecimento é interna ao indivíduo; define-se como a coordenação das relações, onde a criança consegue ver que há mais elementos num todo do que nas partes;

a abstração das características dos objetos é diferente da abstração do número; na abstração dos objetos usou-se o termo abstração empírica (focaliza uma característica e ignora a outra, estabelecendo as diferenças entre os objetos para depois relacioná-los), e na abstração do número, utilizou-se o termo abstração reflexiva (construção de relações entre os objetos);

o número é uma junção de dois tipos de relações, uma é a ordem e a outra é a inclusão hierárquica (colocam-se todos os tipos de conteúdos dentro de todos os tipos de relações). Conhecimento social: são as reuniões construídas pelos indivíduos, sua natureza é resultante só da vontade;

este conhecimento necessita de uma estrutura lógico-matemática para a organização e assimilação. O conceito de conservação baseia-se na epistemologia (estudo dos resultados das ciências), podendo também ser utilizados para responder a questões psicológicas quanto ao seu desenvolvimento. Quando a criança está no nível I e II, ainda não tem as estruturas mentais de número, baseando sua decisão no espaço ou na percepção de fronteiras.

No início do segundo capítulo, a autora comenta sobre Piaget, onde ele declara que “a finalidade da educação deve ser a de desenvolver a autonomia da criança, que é indissociavelmente social, moral e intelectual” (p.33). Autonomia significa agir por leis próprias; na educação, tem o objetivo de não opinar sobre o que não acreditam.

Como as escolas ainda educam tradicionalmente, a heteronomia da criança passa a ser mais trabalhada do que a própria autonomia. Isto porque os professores mantêm as crianças nas regras através de sanções, como as estrelinhas, prêmios, notas, etc.

Estudos feitos mostram que alunos do primeiro ano do ensino superior não estão capacitados para serem críticos; deve-se ressaltar a diferença entre a construção do número (não é observável, pois existe apenas na cabeça da criança) e a quantificação de objetos (a observação é feita em partes, pois podemos ver o comportamento da criança, mas não vemos o pensamento que se desenvolveu mentalmente).

O meio ambiente, o nível sócio-econômico e cultural da criança tanto pode agilizar o desenvolvimento lógico-matemático como retardá-lo. O aluno que já tem o conhecimento lógico-matemático é capaz de representar os números com símbolos ou signos, sendo as primeiras relações com os objetos que o representam e signos são desenvolvidos por fatos e não mantêm semelhanças representativas com os objetos. O professor tem a missão de estimular o pensamento espontâneo da criança.

No capítulo seguinte, Kamii escreve sobre os princípios de ensino, que são apresentados em três títulos:

1. A criação de todos os tipos de relações – a criança que pensa na sua vida cotidiana consegue raciocinar sobre muitos outros assuntos ao mesmo tempo.
2. A quantificação de objetos – deve-se apoiar a criança a pensar sobre número e quantidade de objetos, quantificando-os com conhecimento lógico, comparando conjuntos móveis.
3. Interação social com os colegas e os professores – apoiar a criança a conversar com seus colegas e imaginar como está desenvolvendo o raciocínio em sua cabeça.

No capítulo final, comenta-se sobre as situações que o professor pode aproveitar para ensinar os números. São apresentadas em dois tópicos: vida diária e jogos em grupo. Para se ensinar quantificação, é necessário ligá-la à vivência da criança, distribuindo os materiais, dividindo os objetos em partes iguais, coleta dos objetos, registro de dados e arrumação da sala de aula e votação. Jogos em grupo proporcionam raciocínio amplo e comparação de quantidades, trabalhando jogos com alvos (boliche ou bolinhas de gude), jogos de esconder, brincadeiras de pegar, jogos de adivinhação, jogos de tabuleiro, jogos de baralho, jogos de memória.

O ponto central e essencial da teoria de Piaget é a da abstração reflexiva e da construção de uma estrutura numérica pela criança, através da abstração reflexiva.

No apêndice, a autora cita um dos livros de Piaget (O julgamento moral da criança – 1932), onde o teórico fala sobre a importância da moralidade na autonomia, e está dividido em três partes. Autonomia moral, as crianças adquirem os valores morais, internalizando-os através do contato com o meio ambiente. Autonomia intelectual, as crianças adquirem o conhecimento criando e organizando relações. Autonomia como finalidade de educação, conceituando novos objetivos.

O livro nos dá embasamento teórico sobre a prática do “ensino” dos números. Nos mostra como deve ser nosso posicionamento frente a esta prática. É escrito em uma linguagem simples, porém é repetitivo em seus exemplos.

Indico esta obra para os alunos de Cursos de Formação de Professores e educadores já formados.

Autor: Danielle Lopes da Silva