História dos Números

Você já usou muitas vezes os números, mas será que já parou para pensar sobre:

O modo como surgiram os números?
Como foram as primeiras formas de contagem?
Como os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram?

Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos estudar um pouco da história humana e entender os motivos religiosos desses criadores. Na verdade, desconhecemos qualquer outro motivo que tenha gerado os números.

Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas, como o estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.

Olhando ao redor, observamos a grande presença dos números.

O Início do Processo de Contagem

Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.

As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio. A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.

No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim, eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco. Cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, era porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.

A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação. Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos ainda a correspondência unidade a unidade.

Representação Numérica

Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de representação.

Alguns Símbolos Antigos

No começo da história da escrita de algumas civilizações como a egípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiros eram anotados pela repetição de traços verticais:
I II III IIII IIIII IIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIIII
1 2 3 4 5 6 7 8 9

Depois, este método foi mudado, devido à dificuldade de se contar mais do que quatro termos:
I II III IIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIII
I II III IIII IIII
I
1 2 3 4 5 6 7 8 9

A Civilização Suméria

Os sumérios, habitantes da Mesopotâmia, foram os inventores da escrita. Isso por volta de 5.000 anos atrás. Eles tinham habilidades comerciais bastante desenvolvidas e faziam trocas com muitos outros povos, de várias regiões e que falavam diferentes línguas.

O desenvolvimento desta civilização fez surgir a necessidade de registros escritos. A escrita suméria era feita em placas de argila. Eles utilizavam bastonetes de pontas arredondadas, que faziam com que as letras ficassem em formato de cunha. Por isso, esta escrita ganhou o nome de cuneiforme. Depois do texto pronto, as placas iam para o forno e endureciam. Muitas delas foram conservadas e encontradas por arqueólogos, o que nos permite hoje conhecer como este povo se comunicava pela escrita.

Para representar quantidades, o que era importante para o comércio, os sumérios também utilizavam símbolos. Eles inventaram um sistema que formava grupos de 10 e de 60. Observe como eles representavam alguns números:

Consegue entender como funcionava este sistema? O sinal que parece um funil com a boca para cima indica a quantidade 1 e o sinal com formato triangular deitado indica 10. Juntando os símbolos, você pode ler o número.

Parece até o sistema egípcio. Mas antes de comparar, observe uma tabuada de nove encontrada por cientistas em uma placa mesopotâmica:

E agora, notou algo diferente?

A partir do número 60, aparece nessa tabuada uma nova forma de contar. Pelo que você já aprendeu, para representar 63, por exemplo, você esperava seis símbolos indicando 10 e três símbolos indicando 3. Mas no lugar disso, os mesopotâmicos inventaram um novo símbolo para 60 e mantiveram a representação das três unidades. Ou seja, agruparam de 60 em 60. É por isso que se diz que o sistema mesopotâmico tinha base 60. Ele é semelhante ao egípcio porque é aditivo, mas, ao mesmo tempo, é diferente, já que nele os símbolos podem ter diferentes valores de acordo com sua posição.

Existem diferentes explicações para o uso da base 60 pelos mesopotâmicos. Uma delas é baseada no primeiro calendário adotado por este povo, no qual um ano tinha 360 dias, múltiplo de 60. Outra versão diz que os sumérios escolheram agrupar em 60 por se tratar de um número fácil de dividir.

Quer ver?

Metade de 60 -> 30
Um terço de 60 -> 20
Um quarto de 60 -> 15
Um quinto de 60 -> 12
Um sexto de 60 -> 10
Um décimo de 60 -> 6

Por volta do século III antes de Cristo, os sumérios chegaram a utilizar um símbolo para o zero. Outra novidade deste sistema era a representação de números fracionários. As frações sumérias eram sempre de um número inteiro. Veja:

A civilização mesopotâmica durou cerca de 3000 anos e sua escrita e numeração desapareceram junto com ela. Entretanto, alguns vestígios do sistema de base 60 ficaram, por exemplo, na nossa contagem de tempo. Hoje aceitamos que 60 segundos formam um minuto e que 60 minutos formam 1 hora. Ou seja, agrupamos de 60 em 60. Percebe a semelhança? Você acha que há vestígios da numeração mesopotâmica também em outras contagens?

A Civilização Chinesa

Os Algarismos da Civilização Chinesa

Os Chineses Primitivos usavam numerais que escreviam em folhas com tinta preta. Nos símbolos seguintes, a unidade é representada por um traço horizontal e a dezena por um traço vertical.
Atualmente, o sistema decimal dos Chineses é compreendido por treze sinais fundamentais, respectivamente associados às nove unidades e às quatro primeiras potências de dez (10, 100, 1000, 10000). Sinais numéricos cujo traçado mais simples e mais comumente empregado em nossos dias é este:

Os números 2, 3 e 4, por sua vez, são figurados pela repetição proporcional de traços horizontais, mas esta velha representação ideográfica das unidades desaparece a partir de 5. Com efeito, como todos os povos que usaram uma tal notação numérica, os Chineses marcaram igualmente um tempo de parada para 4; raros são os homens capazes de reconhecer ao primeiro olhar e, portanto, sem contar, uma sequência de mais quatro elementos alinhados. Contudo, em vez de prosseguir essa figuração primitiva, os Chineses preferiram introduzir, para as cinco unidades seguintes, cinco sinais particulares aparentemente despojados de qualquer intuição sensível.

O Número Racional Chinês

O sistema de numeração chinês por volta dos séculos VIII e VII a.C. utilizava alternadamente barras verticais e horizontais para representar seus números. Nesta época, utilizavam lacunas para representar a ausência de unidades. No século VIII, passaram a representar essa ausência por um pequeno círculo. Um documento da época mongólica traz as frações decimais representadas de uma forma muito próxima da nossa.

Um documento do século I chamado “nove capítulos sobre os procedimentos matemáticos” tratava de problemas econômicos e administrativos, tais como: medida de terrenos, cálculo de impostos e questões matemáticas de cálculos de área, raiz quadrada e cúbica, resolução de equações algébricas e já trazia um tratamento sobre frações.

Este documento foi reorganizado por Liu Hui no século III, que utilizou para representar as frações as palavras: fen (partes), zi (numerador) e um (denominador) e dedicou um capítulo às operações de somar, subtrair, multiplicar, dividir, simplificar, comparar e calcular a média. No seu quinto problema, enuncia pela primeira vez, x de y partes para designar x/y, com x < y. Para divisão, utilizavam situações concretas: “agora temos sete homens que dividem oito sapecas (pequena moeda chinesa) e um terço.” Perguntamos: Quanto um homem obtém? Os chineses entendiam das operações sobre frações, em que achavam o mínimo denominador comum. Em outros contextos, eles viam analogias que davam por referência o numerador como “filho” e o denominador como “mãe”.

A Civilização Egípcia

Ao término do período neolítico, o Egito tinha a característica de estado organizado. A sociedade egípcia estava centrada às margens do rio Nilo, ao norte, fazendo fronteira com o Mediterrâneo e, nas demais fronteiras, observava-se um ambiente hostil. Os egípcios viviam independentes, com sua religião, idioma e escrita hieroglífica. Os conhecimentos deste povo acerca da matemática provêm dos papiros que tratam de questões matemáticas, dentre eles, os mais importantes são: o papiro de Rhind e o de Moscou, que datam provavelmente do século XVIII a.C.

Papiro de Rhind e Papiro de Moscou

Com as transformações sociais, surgiu a figura do escriba, que pertencia à classe dominante e desempenhava trabalhos judiciais, além de utilizar a matemática quando ia medir uma terra ou calcular impostos.

No Egito, a aritmética já possuía um nível mais elevado. Na contagem, era seguida uma numeração decimal que não era posicional; cada potência de 10 possuía um símbolo próprio.

Mais tarde, os egípcios inventaram um sistema de numerais, sem usar hieróglifos, que registravam da direita para a esquerda. Os egípcios reproduziram os seus algarismos e os seus hieróglifos gravando-os ou esculpindo-os mediante o cinzel e o martelo em monumentos de pedra, ou ainda mediante um caniço com planta achatada, molhado numa matéria colorida, traçando-os em pedaços de rocha, cacos de cerâmica ou na fibra frágil de folhas de papiro.

De fato, o estudo de frações surgiu no Egito às margens do rio Nilo, pela necessidade de se realizar a marcação das terras que se encontravam à margem do mesmo. No período de junho a setembro, o rio inundava essas terras, levando parte da marcação. Logo, os proprietários destas terras tinham que remarcá-las. A marcação destas terras era realizada pelos geômetras dos faraós, que utilizavam cordas como unidade de medida, denominados estiradores de cordas.

A marcação era realizada da seguinte maneira: esticava-se as cordas e assim se observava quantas vezes aquela unidade de medida estava contida no terreno. Como a medida dos terrenos, na sua maioria, não era dada exatamente por números inteiros, surgia então a necessidade de um novo conceito de número, o número fracionário.

Os egípcios usavam frações unitárias, ou seja, com o numerador um dividido por um número inteiro, como por exemplo: ½, 1/3, ¼, … Eram denominadas frações egípcias.

As frações unitárias eram representadas por inscrições hieroglíficas, como exemplo a fração 1/8 era representada da seguinte maneira: Todas as frações tinham este sinal oval na parte superior, e o outro número com sua respectiva representação, como 1/20 que era representado por:

Encontramos em alguns registros a substituição do sinal oval por um ponto, colocado sobre uma cifra, como no Papiro de Ahmes, a fração 1/20 é representada por:

Os egípcios utilizavam muitas frações, mas a fração 2/3 era considerada a fração geral representada pelo sinal hierático: utilizada como base para as operações fracionárias, não como uma regra elementar, mas sim como parte de um processo, que sem o uso da mesma seria incompleto. Então, para se obter um terço de um número, os egípcios primeiramente encontravam os dois terços, para em seguida, calcular a metade do valor obtido.

A Civilização Grega

Os gregos são considerados pais da democracia e da filosofia. Na escola também aprendemos que eles foram os responsáveis pelo desenvolvimento de algumas ciências, como a medicina e a matemática. Nas suas aulas, você já ouviu falar do teorema de Pitágoras? Pois bem, Pitágoras foi um grande matemático grego. Os números, portanto, também eram utilizados por esta antiga civilização. Cerca de 3.300 anos atrás, os gregos fizeram algumas modificações no sistema de numeração que utilizavam, no qual os números eram representados pelas letras iniciais de seus nomes. A partir das mudanças, surgiu um novo sistema numérico, onde todas as letras do alfabeto grego mais três letras do alfabeto fenício eram utilizadas como símbolos numerais.

Conheça este sistema grego de números-letras:

Para representar os números, os gregos precisavam memorizar 27 letras: as nove primeiras representavam de 1 a 9; as nove próximas representavam de 10 a 90 e as nove últimas representavam de 100 a 900.

Para efetuar as operações aritméticas, os Gregos fizeram uso não dos seus algarismos, mas de ábacos.

É a esse tipo de instrumento de cálculo que aludiu o historiador grego Políbio, pondo estas palavras na boca de Sólon: “Os que vivem na corte dos reis são exatamente como as peças de uma mesa de contar. É a vontade do calculador que lhes fez valer um Khalkos ou um talento.” O talento e o Khalkos eram, respectivamente, a mais forte e a mais fraca das unidades monetárias da Grécia antiga e estas eram simbolizadas pelas colunas extremas do ábaco de peças.

A figura seguinte representa o princípio do ábaco grego de Salamina, no qual se vê a soma de “17 talentos, 1173 dracmas, 3 óbolos, 1 semi-óbolo, 1 quarto de óbolo e 1 Khalkos”.

Os gregos utilizavam as frações em declarações de propriedades, câmbio de moedas e na arquitetura. Na sociedade grega, as frações expressavam razões de números inteiros positivos devido, principalmente, às situações de medidas. Além disso, utilizavam o sistema babilônico para desenvolver suas tabelas astronômicas. O papiro da Universidade de Michigan, com a referência 4966, foi escrito em grego e data do século II d.C. Foi adquirido no Egito em 1927. A Universidade de Michigan possui alguns papiros contendo problemas e tabelas matemáticas. Um desses papiros, com a referência 4966, contém tabelas de frações cujos denominadores são números primos, seguida de 14 problemas aritméticos, alguns dos adiante apresentados aparecem no papiro.

Problema: A que número [deves adicionar] 15, subtrair 20, [adicionar 25], e subtrair 30; para que dê 100 artabas de trigo? Resolução: Adiciona as artabas que se adicionam, = 40, adiciona, também, as artabas que se subtraem, = 50, destas subtrai as que se adicionam, =10, adiciona as 100 artabas de trigo, =110; este é o número. Prova, adiciona 14, = 125, subtrai 20, sobram 105. Adiciona 25, 130; subtrai 30; sobram as 100 artabas de trigo.

Problema: De 100 pães, alguns a uma razão de 10 dracmas, outros de 20 dracmas, e outros de 30 dracmas; o preço total é 2500 dracmas. Solução: 23 a 10 dracmas, 4 a 20 dracmas e 73 a 30 dracmas.
Problema: A largura de um terreno é 2+1/2 schoenia qual é o comprimento, para que haja 20 arouras? Resolução: Reduz 2+1/2 a metades, = 5, e as 20 arouras a metades, = 40; das quais 1/5 = 8. Este é o comprimento. Prova: Multiplica 2+1/2 schoenia da largura por 8 do comprimento e fica igual a 20 arouras.
Problema: O juro mensal de 100 dracmas é 2 dracmas e 3 obols [ou seja, 2+1/2 dracmas]; deixa passar 4 meses e a soma total é 1100 dracmas, de quanto foi o investimento? Solução: 1000 dracmas.

A Civilização Maia

Os Maias tinham como base não a dezena, mas a vintena e as potências de vinte. A razão, como se sabe, é devida ao hábito que os seus ancestrais tinham de contar não apenas com os dez dedos, mas também com os seus pés.

A numeração do povo Maia fundou-se no princípio da adição. Devia associar um círculo ou um ponto à unidade (sinal comum a todos os povos da América Central, originado do grão de cacau, então empregado como “moeda de troca”).

A numeração dos Maias dificilmente deveria prestar-se à prática das operações aritméticas e o sistema devia servir apenas para consignar os resultados de cálculos já efetuados. Este povo deveria fazer os seus cálculos através de um instrumento operatório análogo aos ábacos do Velho Mundo.

A numeração Maia escrita não foi concebida para responder às necessidades do cálculo corrente, que dizia respeito apenas aos comerciantes e ao uso comum dos mortais. Foi elaborada, ao contrário, apenas para satisfazer as necessidades do cômputo do tempo e das observações, em razão da ligação estreita que existia, nessa civilização, entre o fluir do tempo e o mundo divino.

A Civilização Babilônica

Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia, criado há aproximadamente 4 mil anos. Os Babilônios foram um povo da Antiguidade que viveram no Médio Oriente. Escreviam os símbolos numéricos com caracteres cuneiformes, ou seja, em forma de cunha, gravados em placas de argila que depois eram cozidas.

Os símbolos que usavam eram os seguintes:

Tinham um símbolo diferente para a unidade e para a dezena e o número 60 escrevia-se exatamente como o 1, o que para nós é muito confuso. Por exemplo, 61 escreve-se como 2. Pensa-se que os Babilônios sabiam distinguir o número a que se referiam de acordo com o contexto do problema.

Escritos Babilônicos provam que já esta civilização possuía grandes conhecimentos matemáticos. Neles aparecem uma série de notações contáveis no sistema de numeração sexagesimal.

A Civilização Romana

Os romanos usaram o alfabeto para representar números. Ainda hoje a numeração romana é conhecida e até usada. I II III IV V VI VII VIII IX X L C D M

Apesar destes numerais serem suficientes para escrever qualquer número sem confusões, acontecia haver números com um numeral muito grande (por exemplo, 5878 = MMMMMDCCCLXXVIII). As multiplicações e divisões eram praticamente impossíveis.

O sistema de numeração Romano é um sistema decimal, ou seja, sua base é dez. Este sistema é utilizado até hoje em representações de séculos, capítulos de livros, mostradores de relógios antigos, nomes de reis e papas e outros tipos de representações oficiais em documentos. Estas eram as primeiras formas da grafia dos algarismos romanos. Com o passar do tempo, os símbolos utilizados pelos romanos eram sete letras, cada uma com um valor numérico:

Letra: I V X L C D M
Valor: 1 5 10 50 100 500 1000

Todo símbolo numérico com um traço horizontal sobre ele representa milhar e o símbolo numérico que apresenta dois traços sobre ele representa milhão.

Os Romanos foram um povo que, em poucos séculos, atingiu um nível técnico muito alto, e conservou assim, curiosamente, durante toda a sua existência, um sistema inutilmente complicado e não operatório, o que denota um arcaísmo no pensamento.

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